Kartezyen Çarpım Bağıntı
 

A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a b) sıralı ikilisinde;

a ya birinci bileşen b ye ikinci bileşen denir.
a ¹ b ise (a b) ¹ (b a) dır.
(a b) = (c d) ise (a = c ve b = d) dir.


B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere birinci bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.
A ´ B = {(x y) : x Î A ve y Î B} dir.
A ¹ B ise A ´ B ¹ B ´ A dır.


C. KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELİKLERİ

1) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A ´ B) = s(B ´ A) = m × n dir.
A ´ (B ´ C) = (A ´ B) ´ C
A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)
(B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)
A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)
(B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)
A ´ Æ = Æ ´ A = Æ




D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A ´ B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b ile gösterilir.
b Ì A ´ B ise b = {(x y) : (x y) Î A ´ B} dir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n ise
A dan B ye 2m×n tane bağıntı tanımlanabilir.
Ü A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m × n) bağıntı sayısı

Ü b Ì A ´ B olmak üzere
b = {(x y) : (x y) Î A ´ B} bağıntısının tersi
b–1 Ì B ´ A dır.
Buna göre b bağıntısının tersi
b–1 = {(y x) : (x y) Î b} dır.


E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x x) Î b ise b yansıyandır.
"x Î A için (x x) Î b ise b yansıyandır. (" : Her)

2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x y) elemanları için (y x) Î b ise b simetriktir.
"(x y) Î b için (y x) Î b ise b simetriktir.
Ü b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir.
Ü s(A) = n olmak üzere A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
Ü s(A) = n olmak üzere A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı dir.

3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x y) Î b için (y x) Ï b ise b ters simetriktir.
b bağıntısında (x x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

4. Geçişme Özeliği
b A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x y) Î b ve (y z) Î b] için (x z) Î b ise
b bağıntısının geçişme özeliği vardır.
Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri Ters simetrigeçişme özeliği vardır.


F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma Simetri Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
Ü b A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x y) Î b ise x ve y elemanları b bağıntısına göre denktir denir ve x º y şeklinde yazılır.
Ü b A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma Ters simetri Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı hem denklik hem de sıralama bağıntısı olabilir.