A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a 1) (b 2) (c 3) (d 2)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.


B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere
fonksiyonları tanımlansın.

(f + g) : A Ç B ® (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g) : A Ç B ® (f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g) : A Ç B ® (f × g)(x) = f(x) × g(x)
"x Î A Ç B için g(x) ¹ 0 olmak üzere



c Î olmak üzere
(c × f) : A ® (c × f)(x) = c × f(x) tir.


C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre bire bir fonksiyonda
"x1 x2 Î A için x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle
"x1 x2 Î A için f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı


2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü f : A ® B
f(A) = B ise f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
ise f sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m s(B) = n olmak üzere
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere f fonksiyonu bire bir ve örten ise f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a b c} olmak üzere f : A ® A
f = {(a b) (b c) (c a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.


F. TERS FONKSİYON
f : A ® B f = {(x y)|x Î A y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere
f–1 : B ® A f–1 = {(y x)|(x y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x y) Î f ise (y x) Î f–1 olduğu için
y = f(x) ise x = f–1(y) dir.
Ayrıca (f–1)–1 = f dir.
(f–1)–1 = f dir. Ancak (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.

f fonksiyonu bire bir ve örten değilse f–1 fonksiyon değildir.

f : A ® B ise f–1 : B ® A olduğu için f nin tanım kümesi f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de f–1 in tanım kümesidir.

f(a) = b ise f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise f(a) = b dir.



Ü y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

Ü olmak üzere

Ü olmak üzere


G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
Ü (gof)(x) = g[f(x)] tir.

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

Ü Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü I birim fonksiyon olmak üzere
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dır.
Ü f g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
Ü (fog)(x) = h(x)
ise f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise g(x) = (f–1oh)(x) tir.


• f–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
...


H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B f = {(x y)|x Î A y Î B y = f(x)}
(a b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca f–1(b) = a dır.

Ü

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre
f(–3) = 3 f(–2) = 1 f(–1) = 2 f(0) = 2 f(1) = 1
f(2) = 0 f(3) = 2 f(4) = 1 f(5) = 0 dır.