Modüler Aritmetik
 

a b m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(a b) : m (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a b) Î b için
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.
Ü
Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar 0 1 2 3 4 ... (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir.
Buna göre

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a º b (mod m)
c º d (mod m)
olmak üzere

a + c º b + d (mod m)
a – c º b – d (mod m)
a × c º b × d (mod m)
an º bn (mod m)
a – b º 0 (mod m)
k × a º k × b (mod m) dir.
n sayma sayısı; a b m sayılarının ortak böleni ise dir.
a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere dir.

deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü Ü x m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise
xm–1 º 1 (mod m) dir.
x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.
Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere


m asal sayı ise
(m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir.