A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için |x| ³ 0 dır.


B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

|x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
|x × y| = |x| × |y|
|xn| = |x|n
y ¹ 0 olmak üzere


|x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
a ³ 0 ve x Î olmak üzere

|x| = a ise x = a veya x = –a dır.
|x| = |y| ise x = y veya x = –y dir.
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere

|x – a| + |x – b|
ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

K = |x – a| – |x – b|
olmak üzere
x = a için K nin en küçük değeri x = b için K nin en büyük değeri bulunur.
a pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere

a) |x| < a ise –a < x < a dır.
b) |x| £ a ise –a £ x £ a dır.
a pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere

a) |x| > a ise x < –a veya x > a dır.
b) |x| ³ a ise x £ –a veya x ³ a dır.
a < b ve c Î olmak üzere

|x + a| + |x + b| = c
eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.
1. Yöntem
Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.
x + a = 0 ise x = –a dır.
x + b = 0 ise x = –b dir.
Buna göre üç durum vardır. (–b < –a olsun.)
–b £ x –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.
1. Durum
–b £ x ise –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa verilen denklemin de köküdür.
2. Durum
–b < x £ –a ise –x – a + x + b = c olur.
Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa verilen denklemin de köküdür.
3. Durum
x > –a ise x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa verilen denklemin de köküdür.
3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme verilen denklemin çözüm kümesidir.

2. Yöntem
a < b ve c Î olmak üzere
|x + a| + |x + b| = c ... (¶)
eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.
(x + a = 0 ise x = –a) ve (x + b = 0 ise x = –b)
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise

(¶) daki denklemin çözüm kümesi
Ç = [–b –a] dır.
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise

(¶) daki denklemin çözüm kümesi
Ç = Æ dir.
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise

(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için c den sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi
Ç {–b – D –a + D} olur.